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円周角の指導(5)『テーマ別演習◆ (00:00)

円周角の指導についての記事も今回で最後です。

 

 

テーマ4 1つ飛び出したパターン

 

この形は、いわゆる「スリッパ公式」や

 

「ブーメラン公式」を活用する問題。

 

スリッパやブーメランを見つける訓練を

 

させたい。

 

 

 

 

テーマ5 2つ飛び出したパターン

 

この形は「ブーメラン公式」と「円に内接する

 

四角形」を見抜く問題。

 

求めたい角をxとおいて方程式を立てる

 

パターンがあるので、必ず触れておきたい。

 

 

 

 

テーマ6 接弦定理

 

これも「タレスの定理」と同様、

 

「他の問題には無くて、この問題にある情報は

 

何ですか?」

 

と発問し、接線の存在に気づかせたい。

 

当たり前であるが、接弦定理も必ず証明する。

 

証明(説明)できないものを使って、分かった

 

気になってはいけない、という姿勢は強調して

 

おきたい。(高校数学を見据えて指導したい。)

 

 

 

 

以上、全5回にわたって円周角の指導について

 

書いてきた。

 

このあと、数学が得意な子、上位を目指す子には

 

・弧に円周角を書き込む解法

 

・アルハゼンの定理

 

・円が二つ組み合わさった問題

 

・弧の長さを絡めた問題

 

などを指導する。

 

 

 

円周角に限らないが、その単元を勉強するときに

 

どういう力を養いたいのか、ということを意識

 

しながら授業を進めることが大切である。

 

指導する側も、授業を受ける側も、

 

「いま自分がどういう力を鍛えているのか」

 

ということを意識しながら練習を行うと

 

良いだろう。

 

 

 

 

| 2020.01.24 Friday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
円周角の指導(4)『テーマ別演習  (00:00)

ここからはテーマ毎にどのような流れで進めて

 

いくのかを見ていく。

 

 

 

 

テーマ1 二等辺三角形を見抜く

 

「見抜く」というと仰々しいが数学が苦手な子は

 

意外と気づかないものだ。おそらく角度のこと

 

ばかりが頭にあって、辺のことを認識していない

 

のではないだろうか。

 

 

 

 

テーマ2 直径から直角を見抜く

 

いわゆる「タレスの定理」である。

 

今まで扱ってきた問題と、これから解く問題

 

(直径が含まれる問題)を眺めさせ、

 

「今までの問題に無くて、これから解く問題に

 

あるものは何ですか?」と発問し、図の中に

 

直径があることに注目させる。次に

 

「直径があったら直角ができる」

 

ということを確認する。

 

「なぜ直角になるのか」の説明は2つの方法が

 

ある。(私は一つ目の方法がお気に入り。)

 

テーマ2で難しいのは、

 

「自分で補助線を引いて直角をつくる」

 

パターンである。

 

自分の中のイメージと比べて不足しているものを

 

補うための線が補助線である、ということを

 

改めて意識させたい。

 

 

 

 

テーマ3 円に内接する四角形

 

最初は公式化せずに

 

「円周角から中心角、中心角から円周角」

 

と、今までの知識を使って解きたい。

 

そのあと、数字を変えて同じような問題を

 

解いてもらい、共通点(対角の和が180°)

 

に自分で気づかせたい。

 

気づいたあとに文字で証明する。(一般化)

 

円に内接する四角形は

 

「内接四角形の存在に自分で気づきにくい」

 

というところに難しさがある。

 

| 2020.01.23 Thursday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
円周角の指導(3)『円周角の演習』 (00:00)

さてここで演習に入る。まずは(1)(2)で

 

教わった知識のみで解ける問題を扱いたい。

 

円周角の問題ではとくに

 

「テーマを意識する」

 

ということが大切だ。

 

「あ〜、これは直角があるなぁ」

 

とか

 

「これは接弦定理だなぁ」

 

と思えるかどうかが大切だ。

 

指導する側も、

 

「この問題のテーマは何か」

 

ということを意識して指導にあたると良い。

 

その際に、色々なテーマの問題が混ざっていると

 

混乱をきたす可能性がある。

 

問題演習をさせる際には、まずはテーマごとに

 

演習をさせたほうが良いだろう。

 

 

 

 

さて、演習をさせると必ずといっていいほど

 

手が止まる生徒が出てくる。

 

ここで手が止まる子は、今までの学習において

 

「なんとなく考えてきた」

 

「なんとなく考えたつもりになっている」

 

という場合が多い。

 

若干厳しい言い方になってしまったが、

 

こういう子にとっての「考える」は「ファジー

 

(曖昧)」になっている。

 

与えられた情報から感じ取れることが多い子は

 

いわゆるセンスがある子なので、思考がファジー

 

であっても解ける。しかし与えられた情報から

 

感じ取れることが少なくて、かつ思考がファジー

 

な子はフリーズしてしまうのだ。

 

(そもそも与えられた情報を認識するという作業

 

もファジーになってしまっていることが多い)

 

こういう子の思考をファジーからクリアにして

 

いく必要がある。

 

 

 

 

「問題の図から分かっていることは何ですか」

 

と発問して、ひとつずつ丁寧に言わせる。

 

言うことでよりクリアに認識できるようになる。

 

「分かっていることから、新たに分かることは

 

何ですか」と発問する。

 

ここで

 

「円周角を見たら、どの弧に対する円周角かを

 

考える」

 

とか

 

「円周角と中心角のどちらか一方が分かれば、

 

もう一方も分かる」

 

といったことが自分で気づけるようになれば、

 

スイスイ解いていけるようになる。

 

| 2020.01.22 Wednesday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
円周角の指導(2)『角から弧を見抜く』 (00:00)

次に

 

「円周角を見たときに、その角がどの弧に対する

 

円周角なのか」

 

を見抜く(考える)訓練をする。

 

円周角が苦手な子はこれができていない子が多い。

 

 

 

 

図で∠CAEを赤で書き、

 

「この角はどの弧に対する円周角ですか?」

 

と発問する。

 

「弧CEです。」

 

と生徒が答えたら、弧CEを赤でなぞる。

 

 

次に∠ACEを青で書き、

 

「この角はどの弧に対する円周角ですか?」

 

と発問する。

 

「弧AEです。」

 

と生徒が答えたら、弧AEを青でなぞる。

 

次に線分AD、DEを引き、

 

「∠ACE(青)と等しい角はどれですか?」

 

と発問する。

 

 

ここで、次の2パターンに分かれる。

 

・弧AEに注目すれば良いと自分で気づける

 

・弧AEに注目すれば良いと言われたら分かる

 

自分で気づける言われたら分かる

 

この差がとてつもなく大きいのだ。

 

ここを自分で気づけるようにすることが大切だと

 

生徒にも強調する。

 

「円周角を見たら、どの弧に対する円周角かを

 

考える」を繰り返し確認したい。

 

 

 

 

また細かいところだが、上下が逆さまになると

 

分からなくなる子もいる。たとえば∠ADBが

 

弧ABの円周角だと気づかない。

 

(弧ABが上にあるから)

 

必要に応じてプリントを回転させたりしながら、

 

「色々な角度から図を眺める」ということも

 

教えておくと良い。

| 2020.01.21 Tuesday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
円周角の指導(1)『円周角の定理』 (00:00)

今週は円周角の指導について書きたい。

 

円周角の単元は、数学の問題を解くのに必要な

 

論理的思考力を鍛えるための良い訓練になる。

 

逆に言うと、その論理的思考が出来ていない子に

 

とっては、手が止まりやすい単元とも言える。

 

生徒がどのような場面で、どのような理由で

 

つまずくのかも含めて、私の指導法を書きたい。

 

 

 

 

まずは円周角の定理の説明。

 

・一つの弧に対する円周角は等しい

 

・一つの弧に対する中心角は円周角の2倍

 

この二つを説明する。

 

このとき生徒がつまずくパターンは3つある。

 

円周角を中心角の2倍としてしまう

 

円周角と中心角を同じ大きさとしてしまう

 

円周角と中心角のどちらか一方が分かれば

 

  もう一方も分かる、ということに気づかない

 

´△亡悗靴討蓮

 

「見た目から大きさを予測する(感じ取る)」

 

という習慣が無い子が陥りやすい。

 

板書するときに、数学が苦手な子に

 

「ここ、何度くらいに見えますか?」

 

と発問して、ざっくりと角の大きさを判断する

 

習慣の有無を確認すると良い。

 

は円周角の定理を使った問題を解く上での肝だ。

 

発問A「円周角が30度です。では中心角は何度?」

 

発問B「中心角が90度です。では円周角は何度?」

 

という発問をしたあとに、

 

発問C「つまりどういうことが言えますか?」

 

と抽象化(言語化)させると良い。

 

発問AとBに答えられても、発問Cに答えられない

 

生徒は多い。「円周角と中心角のどちらか一方が

 

分かれば、もう一方も分かる」という点は強調して

 

おくべき事柄である。

 

このとき類例として、半径と直径の関係を出すと

 

先ほどの話も腑に落ちやすい。

 

 

 

 

このあと円周角の定理がなぜ成立するのかの証明を

 

どこまで入れるかは生徒の学力、クラスによる。

 

数学が苦手な生徒には、ひと通り円周角に慣れた

 

上で証明する、という流れでも良いと思う。

| 2020.01.20 Monday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
おうぎ形の指導(3) 「中心角が出ていないとき」 (00:00)

さて、いよいよ難関である

 

「中心角が出ていない問題」

 

を扱う。

 

 

(5)のパターンでフリーズしてしまう子は多い。

 

まず分かっていることを図に書かせる。

 

「考える=手を動かす」

 

ということを確認する。

 

私「まず何を出したい?」

 

生徒「中心角」

 

私「うん、たしかにそうなんだけど、

 

中心角を出すためには何が分かればいい?」

 

生徒「・・・おうぎ形が円を何個に分けた

 

うちの何個ぶんか?」

 

私「そうそう、割合が分かればいいよね。

 

じゃあ、割合をどうやって出そうか。」

 

生徒「う〜ん・・・」

 

 

 

 

ここで身近な例を出す。

 

私「クラス40人のうち20人が男子でした。

 

男子はクラス全体の何分のいくつ?」

 

生徒「2ぶんの1!(即答)」

 

私「そう。全体の半分だもんね。じゃあ、

 

この2ぶんの1という数字は、40と20を

 

使ってどういう式を立てれば出てくる?」

 

生徒「・・・40ぶんの20です。」

 

私「そうそう。それを約分すれば良いよね。

 

つまり、『全体ぶんの一部分』を計算すれば

 

割合が出るってことだよね。いま、全体は円。

 

一部分っていうのはおうぎ形ね。

 

じゃあ円とおうぎ形の何を比べればいい?」

 

生徒「おうぎ形の面積が書いてあるから、

 

円の面積とおうぎ形の面積を比べます。」

 

私「素晴らしいね!じゃあやってごらん。」

 

 

 

 

このようなやりとりを通じて

 

「中心角が分かっていなくても割合は分かる」

 

ということを理解してもらう。

 

ここまで「360ぶんの中心角」のような

 

「公式」を使わずに進めているが、あえて

 

公式っぽいものには触れずに進めている。

 

公式よりもまずは「割合の感覚」を身につける

 

ことを最優先にしたいからである。

 

そして授業の最後に一般化して見せる。

 

 

 

 

割合の感覚は、数学ではもちろんのこと

 

理科では「濃度」「湿度」「エネルギーの

 

変換効率」などで、社会でも資料の読み取り

 

などで必要な感覚である。

 

冒頭にも述べたが、「おうぎ形の公式を覚える」

 

という発想は、「割合の感覚を育てる、用いる

 

ことを放棄する」ということに繋がりやすい。

 

もちろん一般化することは必要なのだが、

 

タイミングをよくよく見計らって伝えたい。

 

◎今回のポイント

 

 |羶干僂分かっていなくても割合は出せる

 

◆,曚の具体例を用いて割合の感覚を確認

 

 イメージと理解が定着したあとに一般化する

| 2020.01.14 Tuesday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
おうぎ形の指導(2) 「割合の感覚」 (00:00)

さて、いよいよおうぎ形に入る。

 

まずはおうぎ形の定義を確認する。

 

小さいほうがおうぎ形であるのはもちろん

 

のこと、切り取った残りのほうもおうぎ形

 

であることを確認しておきたい。

 

 

設問を見ていただきたい。

 

普通は

 

 〔明僂魑瓩瓩

 

◆仝未猟垢気魑瓩瓩

 

となっている。

 

しかし、おうぎ形の単元で最も大切なことは

 

「おうぎ形が円全体の何分のいくつか」

 

という「割合」を求めることなのである。

 

その意識を持ってもらうために、

 

あえて設問の,乏箙腓魑瓩瓩詭簑蠅

 

入れている。

 

 

 

 

さてここで、おうぎ形につまずく子が出る

 

ポイントその1である。

 

たとえば中心角が90°のおうぎ形が出てきた

 

ときに、「円全体÷4」と計算する子が出てくる。

 

これはこれで構わない。

 

中心角が60°、120°、30°のような数

 

であれば全く問題ない。

 

しかし、(2)のように中心角が80°になると

 

手が止まる。

 

「何分のいくつか」という分数ではなく、

 

「わり算」で考えているからである。

 

 

 

 

ここで、

 

「わり算ではなく、分数で処理せよ」

 

ということを伝える。

 

私「円ぐるっと1周の角度は何度?」

 

生徒「360°です。」

 

私「そうだね。じゃあ、これがピザだと思って

 

360等分したのをイメージしてごらん。

 

一人分ってどんな感じ?」

 

生徒「細長いヒモみたいなやつです(笑)」

 

私「そうだね、全然おいしそうじゃないね(笑)

 

そのヒモを80本集めたのが中心角80°の

 

おうぎ形だね。

 

『360コに分けたうちの80コぶん』を

 

分数であらわすとどうなる?」

 

生徒「360ぶんの80・・・だから約分して

 

・・・9ぶんの2!」

 

私「そうそう。良いね!そういうことです。」

  

こんな感じで、

 

「わり算ではなく分数のほうが何かと便利」

 

ということを理解してもらう。

 

(3)では、あえて問題文中に図を描かない。

 

生徒が自分で図を描けるかを試したいからだ。

 

「図形の問題は図を描くことも実力のうち」

 

ということを印象に残したい。

 

また中心角が216°であることもポイント。

 

72°、144°、216°、288°あたりは

 

円を5等分した図を描いて数値を覚えたい。

 

その他、約分に苦労する生徒もいる。

 

たとえば360ぶんの80を見たときに

 

10でわれることに気づかない子もいる。

 

時間があれば、約分のコツを教えたいところだ。

 

(つづく)

 

◎今回のポイント

 

 ,うぎ形攻略のカギが割合にあることを確認する

 

◆_薪分(わり算)ではなく、何分の何(分数)で

 

 図を書いて考える習慣づけ 

| 2020.01.13 Monday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
おうぎ形の指導(1) 「円の復習」 (00:00)

今回は、おうぎ形の指導について書く。

 

おうぎ形はよく気をつけないと公式丸暗記で解く

 

子を産みやすいので、注意が必要な単元である。

 

 

 

 

まずは円についての復習から。

 

 

円の面積と円周の長さの求め方を確認する。

 

このとき「円周率とは何か」ということを

 

確認しておきたい。(円周率の意味するところを

 

言えない生徒がほとんどである。)

 

また、小学校までで用いてきた3.14という数が

 

不正確であることを伝え、

 

「小数や分数で正確に表せない数は文字で表す」

 

ということを伝える。このことは中3の平方根の

 

単元に関連するので、強調しておきたい。

 

(逆に中3で根号についての話をするときに、

 

円周率をπで表すことを思い出してもらうと

 

理解が進む。)

 

 

 

 

公式を確認したら、暗算の練習。

 

「半径5cmの円、面積は?円周は?」

 

「半径8cmの円、面積は?円周は?」

 

「直径12cmの円、円周は?面積は?」

 

「円周8πcmの円、半径は?面積は?」

 

「面積100πcmの円、半径は?円周は?」

 

こういう問題を口頭でスピーディーに確認する。

 

やりとりを通じて、

 

「半径・直径・面積・円周」のうち、

 

どれか一つが分かっていれば残りも分かる、

 

ということを認識してもらう。

 

 

 

 

余談だが、数学が得意な人(=指導者)は、

 

こういう当たり前のことをサラッと流してしまう

 

ことが少なくない。実はこういう地味なところに

 

生徒がつまずく原因があることも多い。

 

 

 

 

数字での練習が終わったので、文字で一般化する。

 

πr2とか2πrの表し方を伝えるときに、

 

「πは文字であるが数字である」

 

ということを確認しておくと良い。

 

そして問題演習。

 

(2)ではπがついている部分とついていない

 

部分の加減法ができないことを確認する。

 

またπがおよそ3であることを確認し、

 

「9π+60という数がどれくらいの大きさか」

 

ということを考えてもらう。

 

 

 

 

おうぎ形と題しながら、まだ全然おうぎ形が

 

登場していないが(笑)円についての復習は

 

大事である。次回よりおうぎ形に入る。

 

(つづく)

 

 

◎今回のポイント

 

 ,うぎ形に入る前に円の知識を完璧に

 

◆〕燭┐蕕譴疹霾鵑ら新たに出せる情報を確認する
 

 πの扱い方を丁寧に

 

 

| 2020.01.11 Saturday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
中3数学 円周角の定理 (00:00)

円周角の定理の総合演習を行っている。

 

以前にも書いたが、数学の問題を解くために

 

必要な能力がダイレクトに試される単元が

 

円周角の単元である。

 

 

 

 

間違えた問題をこの専用シートを用いて復習

 

してもらった。

 

 

まずは自分で図を描く。

 

このとき

 

「どんな情報(ヒント)が与えられているのか」

 

を一つずつ正確に認識していくことが重要だ。

 

そして、その情報からどんなことが分かるか。

 

その際にどんな知識を使ったか。

 

それをひとつずつ図示、言語化、数式化していく。

 

はじめは時間がかかるかもしれないが、

 

確実に力がつく復習の仕方だと思う。

 

 

実際にやってもらった感想を生徒に聞いてみると、

 

「ちゃんと分かった感覚があります」

 

とのこと。

 

どうやら良い手法を思いつくことができたようだ。 

| 2019.12.26 Thursday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
中3数学 三平方と空間図形(12月) (00:00)

中3生は本格的に受験対策に入る。

 

 

高校入試数学の重要単元である三平方の定理の

 

空間図形への応用。

 

 

 

 

空間図形の問題は、多くの問題で

 

「見取り図」

 

が与えられている。

 

見取り図は、ななめから見ることで全体の様子を

 

把握するのに適している図だ。

 

ただ、この見取り図だけで物事を処理しようと

 

するといろいろと不都合がある。

 

なぜなら

 

「ななめから見る」→「ゆがんで見える」

 

からだ。たとえば

 

「直角であることに気づかない」

 

とか、

 

「正方形かひし形か見分けがつきにくい」

 

ということが起きる。

 

そこで、受験生は

 

「展開図」「断面図」「投影図」

 

といった図を自分で描き、

 

3次元(立体)の問題を2次元(平面)に

 

直して考えることが必要とされる。

 

「3次元は2次元に落として考えろ!」

 

ということだ。

 

とくに断面図に関しては演習不足になりがち

 

なので、徹底的に練習を行った。

 

 

| 2019.12.25 Wednesday | unitの授業報告 | comments(0) | 進学塾unit |
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